viernes, 27 de julio de 2012

Encontrar la curvatura ideal para una curva

Imagínate que estas construyendo una montaña rusa. Necesitas crear la forma curva de la pista, que será diseñada en una computadora antes de ser construida en metal. Quieres una curva que sea muy divertida viajar a lo largo de ella, lo que significa que quieres un montón de curvas de fuerte, pero no tanto, a menos que deses que tus invitados se enfermen.

Roller coaster

Una consideración similar se enfrentan los ingenieros en la construcción de un ferrocarril o una carretera: deseas que las curvas de la carretera no sean muy cerradas, en este caso, para evitar que los coches o trenes tengan que reducir su velocidad (perdiendo eficiencia).  La razón, por supuesto, es que cuando se viaja a lo largo de un tramo fuertemente curvado de la pista o en carretera, se siente una aceleración. Cuanto mayor sea la curvatura, mayor será la aceleración, en igualdad de condiciones. Sin embargo, la aceleración que se siente depende de lo rápido que uno va por el camino (entre más rápido vayas, mayor será la aceleración), mientras que la curvatura es una propiedad intrínseca a la propia pista.

La curvatura se define esencialmente que tan rápido cambia la dirección del movimiento a medida que avanza en la pista. La curvatura es mayor en las curvas más cerradas de la pista. A lo largo de los tramos rectos de la pista, la curvatura es cero. Así, técnicamente, éstas son derivadas con respecto a la longitud de arco.

Aquí hay un ejemplo de una curva que posiblemente que desee utilizar en la montaña rusa:
Curvature of {sin[2x], cos[3x], x^2} near x = 0



Además de dar la curvatura y el trazado de la curva y el punto que se especifique, observe que Wolfram|Alpha también muestra algo que se llama la "esfera osculatriz" y su centro, el radio, y la ecuación. La esfera osculatriz y su primo de dos dimensiones, el círculo osculador, son excelentes maneras de visualizar la curvatura en un punto específico en una curva.

Puedes consultar por el círculo osculador directamente, para el "radio de curvatura" (que es el radio del círculo osculador), o para el "centro de curvatura" (el centro del círculo osculador). Por ejemplo:
Center of the osculating circle to e^x/2 at x = 1/2

Además de investigar la curvatura de las funciones estándar en los números reales, Wolfram|Alpha también puede encontrar las curvas y círculos osculatrices de curvas dadas en coordenadas polares, curvas implícitas en dos dimensiones, y curvas paramétricas en cualquier número de dimensiones:

The osculator circle of the graph of polar x^2 - 5 at 0.1
Curvature: y^2 + x^3 = 2 at x = -0.6

Usted puede incluso incluir los parámetros especificados en la consulta, y Wolfram|Alpha tratará de incluir en los resultados. En este caso, nos encontramos con que el círculo osculador de un círculo en sí es:

What's the curvature of {a cos[t], a sin[t]} at t = 1?

No tienes que pedir la curvatura en un punto específico. Si no lo haces, Wolfram|Alpha tratará de demostrar que la curvatura y el círculo osculador en función de la variable independiente, tanto en forma algebraica y gráficamente:


Curvature of sin[5x]

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